Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Проверьте ответ. Для этого просто подставьте оба значения в каждое из уравнений и убедитесь, что все сходится. Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. 2. Теперь нужно сложить либо вычесть уравнения и получим уравнение с одной переменной. Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение.

Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад. Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения.

Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных,который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой.

Тождественные преобразования уравнений.

После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку(устно, на черновике либо калькуляторе). Благо, делается это легко и быстро. Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше вниманиена то, КАК я записал выражение.

Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий. Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных. Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции.

Как выразить одну переменную через другую? Как выразить переменную из формулы?

Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки. Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные.

Решение через сложение

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее. Я взял ту же систему, что и первом примере. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных. У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?».

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше.

Решение через умножение

Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Решим систему другим способом. Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х». Решить уравнение — это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего.

Но для любых (повторяю — для любых!) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример.

Суть уравнения от этого не меняется. На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. В уравнениях низачем. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики.

Запишите уравнения в столбик – одно под другим. Второе тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. В этом примере можете пользоваться «школьным» методом, но в нем есть немаленький минус — когда вы будете выражать любую переменную из любого уравнения, то получите решение в обыкновенных дробях.